В 1938 году поступил и окончил Крымский медицинский институт. Автор уникального метода лечения алкогольной зависимости, получивший широкое распространение и признание. Апробация метода Довженко, его теоретическое и научное обоснование осуществлены в 1979—1980 годах в НИИ клинической и экспериментальной неврологии и психиатрии им. В. П. Протопопова — в настоящее время: Государственное учреждение Институт неврологии, психиатрии и наркологии АМН Украины.
В 1984 году способ лечения А. Р. Довженко признан изобретением и зарегистрирован Государственным комитетом по делам изобретений и открытий (в настоящее время Роспатент) под названием «Лечение больных хроническим алкоголизмом по методу доктора Довженко» и утвержден Управлением по внедрению новых лекарственных средств и медицинской техники Министерства здравоохранения СССР. Разрешен Министерствами Здравоохранения СССР и Украины.
Официальное название метода «Организация стрессопсихотерапии больных алкоголизмом в амбулаторных условиях» (приказ Минздрава СССР от 20 апреля 1984 г.№ 21-11/48-27)